UNIDAD 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Objetivo: El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

 2.1       Definición de Límite

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Límite de una sucesión

1.1    La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .

Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  mayor que  converjan a  cuando  crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

 

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

Para la función f(x) = x² - 9/ x - 3 se tiene límite en el punto 3, que no está en el dominio, cuando los valores del dominio se acercan a 3, los valores de la función se aproximan a 6. 3 es un punto de acumulación de D_f²

Importancia

El concepto de límite es importante en análisis matemático; una herramienta básica para definir la derivada e integral definida, la existencia de número real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de π, genial creatura de Arquímedes.

Autor: Wikipedia la enciclopedia libre

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

 2.2       Propiedades de los Límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Autor:  VITUTOR

http://www.vitutor.com/fun/3/a_5.html

2.3       Límites Laterales

Límites laterales

Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:

Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:

para una función continua en c se tiene que .

Autor: Wikipedia la enciclopedia libre

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

2.4       Límites al Infinito

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo 

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x  a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo 

Autor: VITUTOR

http://www.vitutor.com/fun/3/a_3.html

2.5      Continuidad y Discontinuidad

Continuidad de una función en un punto

Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara un discontinuidad en ese punto.

Tipos de discontinuidad de funciones

Los tipos de discontinuidad de funciones pueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto.

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Autor: Vadenumeros.es

http://www.vadenumeros.es/primero/tipos-de-discontinuidad.htm

2.6 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: Interés Compuesto Continuamente, Límite de la Función Costo Promedio

INTERÉS COMPUESTO CONTINUO

Un sistema de interés compuesto en el que la capitalización se produce continuamente. Es decir, en el primer instante de tiempo se obtiene interés sobre el principal. Durante el siguiente instante se obtienen intereses sobre el principal incrementado en los intereses que se han ganado durante el instante anterior. Cuando los tipos de interés o los cambios de porcentaje de valor se miden de esta manera, poseen útiles propiedades matemáticas de las que carecen los tipos establecidos con cualquier otra frecuencia compuesta. Por esta razón, los cambios de porcentaje en los trabajos analíticos más avanzados se miden como intereses compuestos continuos.

Autor: WWW.ECONOMIA40.COM

http://www.economia48.com/spa/d/interes-compuesto-continuo/interes-compuesto-

continuo.htm

LIMITE DE LA FUNCIÓN COSTO PROMEDIO

En la Economía también es importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.

Por lo anterior, es muy importante la representación de las cantidades relacionadas en forma de funciones que puedan ser derivables, no obstante que los datos que se manejan sean discretos, por ejemplo cuando se establece la función de costo , la variable x representa unidades de cierta mercancía.

En Economía se suele describir la variación de una cantidad respecto a otra mediante un concepto llamado promedio que expresa la variación de una cantidad sobre un rango específico de valores de otra y un concepto llamado marginal que expresa el cambio instantáneo en una cantidad respecto a la otra.

Un símil de los conceptos anteriores en Física serían los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea o lo que geométricamente serían la pendiente de la recta secante y la pendiente de la recta tangente, respectivamente.

• Un ejemplo:

  • Si  es la función que representa el Costo Total en unidades monetarias para producir x unidades de cierta mercancía:
  • El costo promedio de producción de cada unidad, sería el costo total entre la cantidad de unidades de mercancía producidas, es decir: , a la cual se le llama función del Costo Promedio.
  • El costo marginal cuando  es , si esta cantidad existe. Y se interpreta como la razón de cambio instantánea del Costo Total con respecto al cambio unitario en las unidades producidas, cuando se producen  unidades.
  • De manera similar sería el Costo Promedio Marginal cuando  y que representa la razón de cambio instantánea del Costo Promediocuando .
• Otro ejemplo

  • Si p es el precio de unitario de cierta mercancía y x el número de unidades de dicha mercancía. Es natural pensar que la cantidad solicitada por los consumidores en el mercado, dependa de su precio. Es natural pensar que "a menor precio, mayor demanda y a mayor precio, menor demanda".
  • A veces también es posible considerar que el precio de un producto se puede establecer en función de su demanda: "a mayor demanda menor precio". En este caso, tendríamos p = g(x) que se llamaría función de demanda o inclusive podría establecerse mediante una ecuación de demanda. A la gráfica correspondiente que relaciona cantidad x solicitada y el precio p, los economistas acostumbran llamarle curva de la demanda.

  
  Aquí un caso típico de curva de demanda
• Un caso típico: La demanda de un cierto producto es nula cuando el precio es muy alto (p=18), mientras que el consumo máximo de dicho producto en una familia no puede pasar de cierto valor (6 unidades) aun que el precio fuese cero.
• Derivado de estos conceptos, se tiene la función de Ingreso Total, R(x) = x P(x), es decir: la cantidad de unidades vendidas, por el precio de las mismas.
• Y además la función de Ingreso Marginal, R'(x) = P(x) + x P'(x), que representaría la razón de cambio del ingreso total para cada x.

Autor: Unam

http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion05_d.html

RESUMEN: En la unidad 2 trata sobre los límites, sus propiedades, continuidad y discontinuidad, interés compuesto, etc. lo cual todo esto nos sirve para resolver problemas económicos.