OO Objetivo: El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad, ingreso y producción.

3.1 Definición de la Derivada

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Autor: Juan Ávila
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm

3.2 Diferenciación de Funciones por Incrementos

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamos la definición de logaritmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

Si el lugar de raíz

se halla

. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

Autor: DERVOR
http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html

3.3 La Derivada Como Razón de Cambio

La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no nota incrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.

Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.

Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.

Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,

Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b.

Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal.

Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.

La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.

Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.

La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.

No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.

Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.

Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será,

f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h

Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,

Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0

Autor: Prof Lauro Soto

http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion

3.4 Diferenciabilidad y Continuidad

Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto

x

si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.

Si una función es diferenciable en un punto

x

, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en

x

, puede no ser diferenciable en dicho punto (punto crítico). En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.

La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

Autor: WIKIPEDIA La Enciclopedia Libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

Diferenciabilidad implica continuidad

Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.

Prueba
Supongamos que f es diferenciable en el punto x = a. Entonces sabemos que

lim
h

f(a+h) - f(a)

existe, e igual f'(a).

Por lo tanto,

lim
h

f(a+h) - f(a)

lim
h

f(a+h) - f(a)

^. h

f'(a)^. 0 = 0.

Límite del producto = producto de los límites

Esto da

lim
h

f(a+h)

lim
h

[f(a+h) - f(a)] + f(a)

0 + f(a) = f(a).

Límite de la suma = suma de los límites

Si tomamos x = a+h, entonces h = x-a, y el resultado anterior puede escribirse como

lim
x-a

f(x)

f(a).

En otras palabras,

lim
x

f(x)

f(a),

que significa que f es continua en x = a.

Autor: zweigmedia

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html

3.5 Reglas Básicas de Derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

En muchos casos, el cálculo de límites complicados mediante la aplicación directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. Algunas de las reglas más básicas son las siguientes:

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces

f' = 0. \,

Regla de la suma:

(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' \,

para toda función f y g y todo número real $\alpha$ y $\beta$ .

Regla del producto:

(fg)' = f 'g + fg' \,

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Por ejemplo,

\frac{d}{dr}\pi r^2=2 \pi r. \,

Regla del cociente:

\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

Regla de la cadena: Si $f(x) = h(g(x))$ , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces

f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). \,

Ejemplo de cálculo

La derivada de

f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,

\begin{align} f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\ &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x. \end{align}

Aquí, el segundo término se calculó usando la regla de la cadena y el tercero usando la regla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementales x², x⁴, sin(x), ln(x) y exp(x) = e^x, así como la constante 7, también fueron usadas.

Autor: WIKIPEDIA La Enciclopedia Libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

3.6 Regla de la Cadena y de la Potencia

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x²es una función compuesta de otras dos f(x) = x² y g(x) = sen x.

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Resolución:

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Ejercicio: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de f(x) = (x²+ 1)³.

Resolución:

· Si u = x²+ 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x² + 1)² · 2x = 6x (x² + 1)²

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

· u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

f'(x) = (a^u)' = u' · a^u · ln a

g'(x) = (e^u)' = u' · e^u

Ejercicio: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de f(x) = 4^{x sen x}

Resolución:

· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

f'(x) = (4^{x sen x})' = (sen x + x cos x) · 4^{x sen x} · ln 4

Resolución:

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Ejemplos

Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x²- 1)

Resolución:

· u = x²- 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x²- 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x²- 1) · tg(x²- 1)

ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Resolución:

· Llamando u = sen x², hay que derivar sen³x² = u³.

· Por la regla de la cadena, la derivada de u³es (u³)' = 3 · u² · u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x²

· Finalmente, h'(x) = (sen³x²)' = 3u² · u' = 3 · sen²x² · 2x · cos x² =

= 6x · sen²x² · cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Autor: Sectormatematica

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm

3.7 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Ingreso marginal

Cuando la empresa estudia la posibilidad de modificar su nivel de producción para mejorar sus utilidades debe tener en cuenta cómo cambia su ingreso como resultado de esa modificación, es decir, cuál será el ingreso adicional que puede recibir por cada unidad adicional producida.
El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total por cada unidad adicional que se venda, de este modo el ingreso marginal es igual al precio en competencia perfecta y es constante porque se pueden vender unidades adicionales a un precio constante.

Con este método la empresa compara la cantidad que cada unidad adicional añade al ingreso total y al costo total, si el ingreso de cada unidad adicional es mayor que su costo marginal debe producirla, de lo contrario se reducen los beneficios o se incrementan las pérdidas.

En la etapas iniciales de producción, el ingreso marginal suele ser mayor que el costo marginal y es rentable producir dentro de ese rango de producción. En las etapas posteriores, cuando la producción es relativamente alta, los costos marginales pueden aumentar más que los ingresos marginales, por lo que la empresa evita producir en este rango.

Estos dos rangos de producción están limitados por un punto único donde el ingreso marginal es igual al costo marginal y se considera el punto clave para determinar el nivel de producción de la empresa, que generalmente no corresponde a un número entero, caso en el cual debe producir la última unidad cuyo ingreso marginal sea mayor que su costo marginal.

Por lo anterior la regla para buscar la maximización de las utilidades de la empresa tanto perfectamente competitivas, como en las demás estructuras de mercado, cuando trabaja por costos unitarios, utilizando el enfoque marginal es:

"En el corto plazo, la empresa maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas produciendo el nivel de producto en el que el ingreso marginal es igual al costo marginal"

Solo para la empresa de competencia perfecta por ser el precio igual al costo marginal la empresa debe producir en el punto en el que el precio es igual a dicho costo

Costo marginal

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos.

Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. Llegará un punto en que el aumento de la cantidad producida por los trabajadores adicionales sea tan bajo que el costo total aumentará proporcionalmente mas que la cantidad producida, por lo que el costo marginal comenzará a elevarse. A partir de este punto, el costo medio de producción aumentará a medida que se agreguen trabajadores a la empresa, por ejemplo debido a que los insumos fijos por trabajador serán menores, por ejemplo maquinaria, herramientas, espacio físico, computadoras, etc.. Este es el principio de los rendimientos físicos marginales decrecientes. En un extremo puede suceder que trabajadores adicionales no añadan nada al producto, por ejemplo porque no tienen ninguna herramienta para trabajar.

Utilidad marginal

La utilidad marginal es un concepto económico un tanto complejo de asimilar por la mayoría de los estudiantes que apenas se inician en estos temas.

En economía, la utilidad marginal es la utilidad que un consumidor le otorga a un bien consumido. Para un determinado consumidor, el utilizar un bien o un servicio, le genera cierta utilidad, la cual depende de las perspectivas de cada consumidor, lo que la hace subjetiva.

Se llama marginal porque, se supone que entre mas unidades haya de un producto menor es la utilidad que le otorga, y entre mayor menos unidades disponibles hayan, mayor es la utilidad otorgada por el consumidor.

En otras palabras, cuando un producto es abundante su utilidad marginal es baja, pero al contrario, cuando un producto es escaso la utilidad marginal es mayor.

En cierta forma la utilidad marginal contribuye a la fijación del precio de los bienes. No es por capricho que un bien abundante por lo general es de bajo precio, y cuando es escaso, su precio es elevado.

Vemos por ejemplo el caso del agua en los países tropicales es de bajo precio, en cambio en el medio oriente que es una zona donde existe gran escasez, el precio del agua es elevado, y vemos que ese trata del mismo bien, pero valorado de diferente forma por los consumidores según la disponibilidad de este recurso. La gasolina en Venezuela es barata, en Colombia es costosa.

La utilidad marginal de un bien depende el gusto y capricho del consumidor, lo que hace que matemáticamente sea difícil medirla con exactitud. Ya veíamos el caso del agua que es valorada de forma distinta por dos usuarios diferentes.

Se considera que la utilidad de cada bien adicional que se posea, disminuye en la medida en que se adquiere o agrega una unidad adicional. Seguramente a un consumidor le gustará mucho consumir una porción de pollo, o tal vez dos o tres, pero de seguro que la cuarta, quinta o sexta porción de pollo ya no le interesa, no tiene ningún valor para él. La utilidad marginal de la porción de pollo ha disminuido o quizás desaparecido.

Parece que en lo único que no se cumple esta teoría es en le dinero, puesto que según la teoría de la utilidad marginal, entre mas dinero se tiene, menor es el valor que se le debe dar, pero en este caso sucede todo lo contrario, y entre mas dinero se tiene más se quiere ganar.

Autor: Maicol G

http://maicolz33.blogspot.mx/2009/06/ingreso-costo-y-utilidad-marginal.html

Propensión marginal al consumo

La propensión marginal al consumo mide cuánto se incrementa el consumo de una persona cuando se incrementa su renta disponible (los ingresos de los que dispone después de pagar impuestos) en una unidad monetaria.

Formulación matemática

La propensión marginal al consumo se define como el aumento del consumo con la renta disponible, matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesiano, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

C\,

= Consumo

C_0\,

= Consumo autónomo o fijo.

c\,

= Propensión marginal a consumir

Y_D\,

= Ingreso disponible

Y(1-t)

(1-c)=b\,

= Propensión marginal a ahorrar.

Autor: Wikipedia La Enciclopedia Libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Propensi%C3%B3n_marginal_al_consumo

Propensión marginal al ahorro

La Propensión Marginal al Ahorro, PMA o por sus siglas en ingés MPS, hace referencia al incremento en el ahorro que resulta de un aumento de la renta. Por ejemplo, si la Propensión Marginal al Ahorro es igual a 0.35 y una familia ve incrementada su renta en un euro, la familia gastará 65 céntimos y ahorrará los 35 restantes. Es un concepto crucial, junto con la Propensión marginal al consumo, en la teoría económica de Keynes y es una de las claves que determinan el valor del multiplicador keynesiano.

Formulación matemática

La propensión marginal al ahorro se define partir de la propensión marginal a consumir. Matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:

$\mbox{PMC}=\frac{dC}{dY_{D}}$

que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesianismo, se formula la siguiente expresión de consumo:

$C = C_0 + cY_D\,$

Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:

C\,

= Consumo

C_0\,

= Consumo autónomo o fijo.

c\,

= Propensión marginal al consumo

Y_D\,

= Ingreso disponible

Y(1-t)

(1-c)=b\,

= Propensión marginal a ahorrar.

Autor: Wikipedia La Enciclopedia Libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Propensi%C3%B3n_marginal_al_ahorro

RESUMEN: Esta unidad 3 trata sobre, la derivada, la derivada como razón de cambio, diferenciabilidad y continuidad, etc. con todas estas formulas y ejercicios ya podemos resolver problemas de la vida cotidiana.

MATEMÁTICAS I

viernes, 22 de mayo de 2015

UNIDAD 3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Interpretación geométrica

Ejemplos

Ejemplo de cálculo

Propensión marginal al consumo

Formulación matemática

Propensión marginal al ahorro

Formulación matemática

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