UNIDAD 1. FUNCIONES

Objetivo: El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

 1.1       Definición y Notación de Función

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

...,

Estación → E,

Museo → M,

Arroyo → A,

Rosa → R,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y Bes el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

 k → k², o sencillamente f(k) = k²;

g: V → A

 p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

Autor: Wikipedia la enciclopedia libre.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

 1.2      Dominio y Rango de  una Función

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) = ,

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

Autor: Orlando 777! 

http://artigoo.com/dominio-y-rango-de-una-funcion

1.3      Tipos de Funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

 Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

 Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

 Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

 Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones algebraicas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

 Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Autor: VITUTOR

http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html

1.4      Operaciones con Funciones

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                          

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

Ejercicio:

 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

· La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

                                                       

‚ Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

  

  

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

„ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Resolución:

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

_{Autor: funoper}

_{http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm}

1.5      Composición de Funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Ejemplos

1Sean las funciones:

1Calcular (f o g) (x)

2Calcular (g o f) (x)

2

1

2

3

1

2

Dominio de la composición de funciones

D_(g o f) = {x ∈ D_f / f(x) ∈ D_g}

Propiedades de la composición de funciones

1. Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h

2. No es conmutativa.

f o g ≠ g o f

3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Autor: VITUTOR
http://www.vitutor.com/fun/2/a_4.html


1.6      Gráfica de una Función 

Tabla de valores y representación

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado

por la función fle corresponde en el plano cartesiano un único 

punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio 

de definición de la función. Como el conjunto de puntos 

pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla

de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la

función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan 

puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se

obtiene  la representación gráfica de la función.

x	1	2	3	4	5
f(x)	2	4	6	8	10

Grafo de una función

Grafo de una función es el conjunto de pares formados por

 los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.

G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}

Sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas 

graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0),

llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se 

llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder

a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje 

de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, 

su correspondiente imagen.

Autor: VITUTOR

http://www.vitutor.com/fun/2/a_3.html

   1.7      Función Lineal y Función Cuadrática

Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b,

 y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente.

Funciones lineales

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.

m = pendiente de la recta (constante).

b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).

x = variable.

Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.

Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

• Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
• Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
• Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

Ejemplo

Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3

la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.

Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax2 + bx + c

a, b y c = números reales diferentes a cero.

Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la parte superior de la parábola.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo al eye de las “y”.

Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.

Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.
2. Factorizar la ecuación.
3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la  fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y  3 para graficar la curva.

Autor: Mónica Casillas Brizuela

http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-y-cuadraticas/

1.8      Función Exponencial y Función Logarítmica

La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas". Es importante aprender bien las funciones exponenciales y logarítmicas, porque ambas son de gran importancia en las matemáticas.

La función exponencial es siempre la inversa de la función logarítmica y ésta, a su vez, es siempre la inversa de la función exponencial. Por eso se dice que ambas funciones son "hermanas".

Se llama función exponencial a aquella cuya expresión es: f ( x ) = k . ax + b Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y cuenta con una característica particular, ya que su derivada es la misma función.

En la expresión f ( x ) = k . ax + b, el número k es real y distinto de cero, mientras que a es un número real positivo y distinto de uno.

Entonces:
• El número k es distinto de cero, ya que si no fuera así, quedaría una función constante: f ( x ) = b , porque se anula el primer término.

• El número a, por su parte, debe ser mayor que cero, ya que si a fuera un número negativo, por ejemplo -4, no podríamos elevarlo 1/2, es decir, sacar su raíz cuadrada.

En el gráfico, la función es creciente, ya que a es mayor que uno, corta al eje de las ordenadas en uno y no tiene raíces, no corta al eje x.

A medida que los valores de x son menores, y toma valores cada vez más próximos a cero. En ese caso, decimos que la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

El dominio de la función son todos los números reales mientras que la imagen son los números reales mayores que cero.

Función logarítmica:

La función logarítmica es del tipo f ( x ) = logb x donde b representa a un número real distinto de 1 y x es siempre mayor que 0 b ? R; b = 1; x > 0 .

La gráfica de la función logarítmica f ( x ) = log2 x es: 

Imagen: Gráfica de la función logarítmica.

Es una gráfica que no corta al eje y, a medida que x toma valores cada vez más próximos al 0, y toma valores cada vez menores. La gráfica muestra que la función es creciente, y corta al eje x en 1 porque todo número distinto de 0 elevado a la 0 da por resultado 1. Por lo tanto, en la función logarítmica la asíntota es vertical.

Autor: Aula 365

http://www.aula365.com/post/funcion-exponencial-logaritmica/

1.9       Aplicaciones en las Ciencias Económico Administrativas: funciones de oferta y demanda, recta presupuestal, funciones de ingreso, costo y utilidades, funciones de apreciación y depreciación.

FUNCIONES OFERTA Y DEMANDA LINEALES.

En Economía aparecen como objeto de estudio las funciones de oferta y de demanda. La función de demanda fd para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática. fd = mp + n con m<0 o bien fd = ap2 + bp + c, con a<0. La función de oferta fo , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática. fo = kp + v con k>0 o bien fo = dp2 + ep + f, con d>0. El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio". En la siguiente escena vamos a analizar la situación que resulta cuando ambas funciones, Oferta y demanda, son lineales. En la parte superior de la escena introduciremos los coeficiente de la función oferta y en la inferior los de la función demanda. 1) Comprueba dándole valores a los coeficientes que en determinados casos el problema del equilibrio no tiene solución. Razona a partir de las gráficas de las funciones. 2) Las funciones oferta y demanda correspondientes a un almacén son: fo(p)=3p+150 y fd(p)=-2p+300. Encuentra la cantidad de equilibrio y el precio por unidad (p) en euros.(Resuelve gráfica y analíticamente). 3) A partir de una situación en la que has comprobado que se alcanza el equilibrio de forma gráfica, plantea el enunciado de un problema y resuélvelo analíticamente en tu cuaderno. Comprueba que dicho resultado coincide con el que has obtenido en la escena.

FUNCIONES OFERTA Y DEMANDA LINEALES O CUADRÁTICAS

A continuación vamos a estudiar el caso en que ambas funciones, oferta y demanda pueden ser o lineales o cuadráticas. En la parte superior de la escena se encuentran los coeficientes de la función oferta y en la parte inferior de la función demanda. En este caso la solución al punto de equilibrio la encontrarás situando el cursor sobre el punto de corte de ambas funciones (pe, f(pe)). En la escena, cada función debes expresarla de una sola forma (lineal o cuadrática).

4) En esta ocasión puedes combinar funciones oferta y demanda en sus respectivas expresiones lineal y cuadrática dándole valores a sus coeficientes. Realiza dos o tres pruebas con las cuatro combinaciones posibles.(L-L, L-C, C-L, C-C). Anota los resultados en tu cuaderno.

5) En el caso de que algunas de las funciones al menos sea cuadrática, encuentra una situación donde se alcance el equilibrio. Construye el enunciado de un problema, resuélvelo analíticamente y comprueba que ambos resultados coinciden.

Autor: José Francisco Venzalá González

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_en_la_Ciencia/oferdem.htm

Recta presupuestaria

Recta presupuestaria Concepto: Representa todas las combinaciones posibles de bienes que el consumidor puede adquirir si agota todo su presupuesto en dichos bienes.

La recta presupuestaria muestra todas las combinaciones posibles de bienes que el consumidor puede adquirir si agota todo su presupuesto en dichos bienes.

Autor: EcuRed

http://www.ecured.cu/index.php/Recta_presupuestaria

CONCEPTO

Es lo que la empresa recibe por la actividad natural que realiza, en otras palabras es el resultado de haber vendido un producto o prestar un servicio, durante un periodo determinado.

ECUACIÓN DEL INGRESO

CONCEPTO

El concepto de costos totales incluye la suma de todos los costos que están asociados al proceso de producción de un bien, o al suministro de un servicio, por lo tanto entre mas se produce mayor será el costo en el que se incurre.

Los costos totales se dividen en dos componentes: costos fijos y costos variables.

1. COSTOS FIJOS: no varían en el corto plazo con la cantidad producida . Incluyen todas las formas de remuneración u obligaciones resultantes del mantenimiento de los recursos fijos de la producción que se emplean en una cantidad fija en el proceso productivo. Los costos fijos deben pagarse aunque la empresa no produzca y no varían aunque varíe la producción, permaneciendo constantes para un volumen establecido de productos o servicios, como el alquiler o la renta que se paga por las instalaciones los sueldos del personal administrativo etc...


2. COSTOS VARIABLES : varían en el corto plazo según cambia la producción. Provienen de todos los pagos aplicados a los recursos que varían directamente en función del volumen de producción; es decir, el valor de las materias primas que se utilicen en función del número de productos, la energía consumida, los salarios pagados al personal de producción y en general cualquier tipo de gasto que igualmente puede variar en función de lo producido.

ECUACIÓN DEL COSTO TOTAL

CONCEPTO

Es la ganancia que se obtiene al vender un producto

ECUACIÓN DE LA UTILIDAD

CONCEPTO

Es aquel punto en donde no existen perdidas ni ganancias

ECUACIÓN DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Gráficamente el equilibrio se representa por la intersección de la curva de oferta y demanda de un producto, e indica el equilibrio del mercado, siendo E el punto de equilibrio donde no existe ni exceso en la cantidad demandada ni exceso en la cantidad ofrecida.

Autor: Lorena Romero

http://lorena-mercadeo.blogspot.mx/2009/04/ingreso-costos-utilidad-y-punto-de.html

Funciones de apreciación y depreciación

Función de depreciación:

La depreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo por depreciación será igual al costo menos el valor de desecho.

Costo – valor de desecho

=

monto de la depreciación para cada año de vida del activo o gasto de depreciación anual

Ejemplo: Para calcular el costo de depreciación de una cosechadora de 22.000 euros que aproximadamente se utilizará durante 5 años, y cuyo valor de desecho es de 2.000 euros, usando este método de línea recta obtenemos:

22.000 € - 2.000 €	=	Gasto de depreciación anual de 0,20 €
100.000 Kg

Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así: 

Año	Costo por kilogramo	X	Kilogramos	Depreciación anual
1	0,2 €		30.000	6.000 €
2	0,2 €		30.000	6.000 €
3	0,2 €		15.000	3.000 €
4	0,2 €		15.000	3.000 €
5	0,2 €		10.000	2.000 €
			100. 000	20.000 €

Autor: Adrian Martin

http://addimate.blogspot.mx/2014/05/funciones-de-apreciacion-y-depreciacion.html

RESUMEN: En la unidad 1 trata sobre las funciones, lineales, exponenciales, cuadráticas, etc. De e esta manera nos vamos poco a poco familiarizando con todas las funciones.