Objetivo: El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el concepto de diferencial y sus aplicaciones.
4.1 Derivadas de Funciones Logarítmicas
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.
Como 
, también se puede expresar así:
, también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.
En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.
Ejemplos
Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos:
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
Autor: Dervor
4.2 Derivadas de Funciones Exponenciales
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.
Ejemplos
Autor: Dervor
aar
aut
aa
4.3 Diferenciación Implícita
Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.
En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.
Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.
Autor: Webcindario
4.4 Diferenciación Logarítmica
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.
Autor: Dervor
4.5 Derivadas de Orden Superior
La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.
Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:
Ejemplos:
Dada la función
 obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
a) Solución:
derivando
b) Solución:
para la primera derivada obtenemos
como podemos ver, en este caso la función es derivable a cualquier orden. Al igual que en el caso anterior.
c).- Solución
para la primera derivada obtenemos:
d).- Solución:
obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:
al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos
 |
Autor: Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
4.6 Diferenciales
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.
Autor: Vitutor
4.7 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.
Ingreso marginal
Cuando la empresa estudia la posibilidad de modificar su nivel de producción para mejorar sus utilidades debe tener en cuenta cómo cambia su ingreso como resultado de esa modificación, es decir, cuál será el ingreso adicional que puede recibir por cada unidad adicional producida.
El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total por cada unidad adicional que se venda, de este modo el ingreso marginal es igual al precio en competencia perfecta y es constante porque se pueden vender unidades adicionales a un precio constante.
El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total por cada unidad adicional que se venda, de este modo el ingreso marginal es igual al precio en competencia perfecta y es constante porque se pueden vender unidades adicionales a un precio constante.
Con este método la empresa compara la cantidad que cada unidad adicional añade al ingreso total y al costo total, si el ingreso de cada unidad adicional es mayor que su costo marginal debe producirla, de lo contrario se reducen los beneficios o se incrementan las pérdidas.
En la etapas iniciales de producción, el ingreso marginal suele ser mayor que el costo marginal y es rentable producir dentro de ese rango de producción. En las etapas posteriores, cuando la producción es relativamente alta, los costos marginales pueden aumentar más que los ingresos marginales, por lo que la empresa evita producir en este rango.
Estos dos rangos de producción están limitados por un punto único donde el ingreso marginal es igual al costo marginal y se considera el punto clave para determinar el nivel de producción de la empresa, que generalmente no corresponde a un número entero, caso en el cual debe producir la última unidad cuyo ingreso marginal sea mayor que su costo marginal.
Por lo anterior la regla para buscar la maximización de las utilidades de la empresa tanto perfectamente competitivas, como en las demás estructuras de mercado, cuando trabaja por costos unitarios, utilizando el enfoque marginal es:
"En el corto plazo, la empresa maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas produciendo el nivel de producto en el que el ingreso marginal es igual al costo marginal"
Solo para la empresa de competencia perfecta por ser el precio igual al costo marginal la empresa debe producir en el punto en el que el precio es igual a dicho costo
Costo marginal
El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.
Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:
Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad
CMg = ∂CT / ∂Q
El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos.
Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. Llegará un punto en que el aumento de la cantidad producida por los trabajadores adicionales sea tan bajo que el costo total aumentará proporcionalmente mas que la cantidad producida, por lo que el costo marginal comenzará a elevarse. A partir de este punto, el costo medio de producción aumentará a medida que se agreguen trabajadores a la empresa, por ejemplo debido a que los insumos fijos por trabajador serán menores, por ejemplo maquinaria, herramientas, espacio físico, computadoras, etc.. Este es el principio de los rendimientos físicos marginales decrecientes. En un extremo puede suceder que trabajadores adicionales no añadan nada al producto, por ejemplo porque no tienen ninguna herramienta para trabajar.
Utilidad marginal
La utilidad marginal es un concepto económico un tanto complejo de asimilar por la mayoría de los estudiantes que apenas se inician en estos temas.
En economía, la utilidad marginal es la utilidad que un consumidor le otorga a un bien consumido. Para un determinado consumidor, el utilizar un bien o un servicio, le genera cierta utilidad, la cual depende de las perspectivas de cada consumidor, lo que la hace subjetiva.
Se llama marginal porque, se supone que entre mas unidades haya de un producto menor es la utilidad que le otorga, y entre mayor menos unidades disponibles hayan, mayor es la utilidad otorgada por el consumidor.
En otras palabras, cuando un producto es abundante su utilidad marginal es baja, pero al contrario, cuando un producto es escaso la utilidad marginal es mayor.
En cierta forma la utilidad marginal contribuye a la fijación del precio de los bienes. No es por capricho que un bien abundante por lo general es de bajo precio, y cuando es escaso, su precio es elevado.
Vemos por ejemplo el caso del agua en los países tropicales es de bajo precio, en cambio en el medio oriente que es una zona donde existe gran escasez, el precio del agua es elevado, y vemos que ese trata del mismo bien, pero valorado de diferente forma por los consumidores según la disponibilidad de este recurso. La gasolina en Venezuela es barata, en Colombia es costosa.
La utilidad marginal de un bien depende el gusto y capricho del consumidor, lo que hace que matemáticamente sea difícil medirla con exactitud. Ya veíamos el caso del agua que es valorada de forma distinta por dos usuarios diferentes.
Se considera que la utilidad de cada bien adicional que se posea, disminuye en la medida en que se adquiere o agrega una unidad adicional. Seguramente a un consumidor le gustará mucho consumir una porción de pollo, o tal vez dos o tres, pero de seguro que la cuarta, quinta o sexta porción de pollo ya no le interesa, no tiene ningún valor para él. La utilidad marginal de la porción de pollo ha disminuido o quizás desaparecido.
Parece que en lo único que no se cumple esta teoría es en le dinero, puesto que según la teoría de la utilidad marginal, entre mas dinero se tiene, menor es el valor que se le debe dar, pero en este caso sucede todo lo contrario, y entre mas dinero se tiene más se quiere ganar.
Autor: Maicol G
Propensión marginal al consumo
La propensión marginal al consumo mide cuánto se incrementa el consumo de una persona cuando se incrementa su renta disponible (los ingresos de los que dispone después de pagar impuestos) en una unidad monetaria.
Formulación matemática
La propensión marginal al consumo se define como el aumento del consumo con la renta disponible, matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:
que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesiano, se formula la siguiente expresión de consumo:
Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:
= Consumo
= Consumo autónomo o fijo.
= Propensión marginal a consumir
= Ingreso disponible
= Propensión marginal a ahorrar.
Autor: Wikipedia La Enciclopedia Libre
Propensión marginal al ahorro
La Propensión Marginal al Ahorro, PMA o por sus siglas en ingés MPS, hace referencia al incremento en el ahorro que resulta de un aumento de la renta. Por ejemplo, si la Propensión Marginal al Ahorro es igual a 0.35 y una familia ve incrementada su renta en un euro, la familia gastará 65 céntimos y ahorrará los 35 restantes. Es un concepto crucial, junto con la Propensión marginal al consumo, en la teoría económica de Keynes y es una de las claves que determinan el valor del multiplicador keynesiano.
Formulación matemática
La propensión marginal al ahorro se define partir de la propensión marginal a consumir. Matemáticamente puede expresarse como la siguiente derivada:
que explica cuánto varía el consumo cuando varía el ingreso. En el análisis de consumo keynesianismo, se formula la siguiente expresión de consumo:
Que se considera aproximadamente válida para intervalos de variación de la renta en los que la PMC permanece aproximadamente constante:
Autor: Wikipedia La Enciclopedia Libre
RESUMEN: En esta unidad 4 trata, sobre otros tipos de derivaciones y diferenciaciones que complementan la unidad de derivadas de una función.
2 comentarios:
Bien ángeles!
Bien ángeles!
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