MATEMÁTICAS I : UNIDAD 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Objetivo: El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función Creciente y Decreciente

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁y x₂, con la condición x₁ £x₂, se verifica que

f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁< x₂se deduzca f(x₁) > f(x₂), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² >x₄²(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)²). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Autor: Sectormatematica

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

5.2 Extremos Relativos y Extremos Absolutos

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que

P

es un máximo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \le f(x_0)

. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

f(x) < f(x_0)

Análogamente se dice que el punto

P

es un mínimo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \ge f(x_0)

Extremos absolutos

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

perteneciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

máximo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

mínimo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente diferenciable

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, definida en un intervalo abierto de

\mathbb {R}

, el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$
Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$
Se iguala la primera derivada a 0: $f'(x) = 0\,$
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .
Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.
Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$ :
1. Si $f''(x_i) < 0\,$ , se tiene un máximo en el punto $M(x_i, f(x_i))\,$ .
2. Si $f''(x_i) > 0\,$ , se tiene un mínimo en el punto $m(x_i, f(x_i))\,$ .
3. Si $f''(x_i) = 0\,$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
  1. Si el orden de la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si $f^n\,(x_i) < 0\,$ y un mínimo si $f^n\,(x_i) > 0\,$
  2. Si el orden de la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.

Ejemplo

Sea

f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x -30 \,

Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión.

Dada la función

f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x - 30 \,

, se tiene que:

f'\,(x) = 3x^2 -24x + 45

f''\,(x) = 6x - 24

f'''\,(x) = 6

Extremos:

f'\,(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 0 \iff x \in \big\{3, 5\big\}

f''\,(3) = 6 \cdot 3 - 24 = -6 < 0 \Rightarrow

existe un máximo en

M\,(3, f(3)) \rightarrow M\,(3, 24)

f''(5) = 6 \cdot 5 - 24 = 6 > 0 \Rightarrow

existe un mínimo en

m\,(5, f(5)) \rightarrow m\,(5, 20)

Puntos de inflexión

f''(x) = 6x - 24 = 0 \iff x = 4

f'''(4) = 6 \ne 0 \Rightarrow

existe un punto de inflexión en

P\,(4, f(4)) \rightarrow P\,(4, 22)

Autor: Wikipedia La Enciclopedia Libre

http://es.wikipedia.org/wiki/Extremos_de_una_funci%C3%B3n

5.3 Prueba de la Primera Derivada para la Determinación de Máximos y Mínimos

v En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada".
En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c(en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f'(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo)

Autor: Webcindario

http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/prueba_de_la_primera_derivada.htm

5.4 Concavidad, Puntos de Inflexión y Prueba de la Segunda Derivada

Concavidad

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

Derivada segunda

Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.

Notación: f''(x).

Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.

Punto de inflexión

f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

		En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.

		En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

Autor: Matematica

http://matematica.50webs.com/concavidad.html

5.5 Optimización de Funciones Económico-Administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio

INGRESOS

Ingreso total (IT): es simplemente el precio de un bien multiplicado por la cantidad que se vende de ese bien.

Ingreso marginal (IM): es el incremento que experimenta el ingreso total cuando se eleva la producción en una unidad. El IM puede ser positivo o negativo en dependencia de la elasticidad de la demanda.

Para un bien en estudio el ingreso marginal se relaciona con el ingreso total, de forma:

Cantidad Q Precio

P=IT/Q (pesos) Ingreso total IT=PxQ (pesos) Ingreso marginal IM (pesos)

En el caso que se tenga la función de ingresos totales, IM= (IT)’.

Nótese que el ingreso total máximo se obtiene cuando el IM=0.

Ejemplo 12 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

La función de ingresos total de la Empresa Lycos S.A. dedicada a la producción de piensos para aves viene dada por IT(Q)= 30Q-3Q², donde Q es la cantidad de toneladas de piensos vendida por la empresa en un año.

a-) Determinar el ingreso marginal para Q=3, Q=4 y Q=3.5.

b-) ¿A qué nivel de producción alcanza la empresa un ingreso total máximo? Calcule su valor.

c-) Analice el inciso anterior gráficamente.

Solución:

a-) IM= (IT)’= (30Q-3Q²)’= 30-6Q

Para Q=3 Para Q=4

IM= 30-6*4=6 IM=30-6*3=12

Para Q=3.5

IM= 30-6*3.5=9

Rta: Cuando la producción es de 3 toneladas de pienso, el producir una unidad adicional traería consigo un aumento en los ingresos de $12.00, si fuera de 4 toneladas los ingresos totales aumentarían en $6.00 y si la producción fuera de 3.5 toneladas los ingresos totales aumentarían en $9.00.

b-) El ingreso total máximo se obtiene cuando IM=0:

IM=O IT(5)= 30*5-3*5^2

30-6Q=0 IT(5)= $756Q=30

Q=5u

Rta: Al producir 5 toneladas de piensos obtiene la Empresa Lycos S.A. un nivel máximo de ingresos de $ 75.00.

Solución gráfica:

Nótese que la función de Ingresos Totales tiene el punto de máximo donde su primera derivada es cero (IM = 0).

Ejemplo 13 (Aplicación de la integral indefinida)

La función de ingresos marginales de una fábrica está dada por

Imq = 20/ (4+q)2 .

a-) Hallar la función de ingreso total si este es de 20 unidades monetarias cuando la producción es de 2 unidades.

b-) Calcular la variación en el ingreso total cuando la producción aumenta a 4 unidades.

Solución:

a-) ITq = ∫ IMq *dq

= ∫ 20/(4+q)2 *dq

= -20/4+q + C

IT(2) = -20/4+2 + C

20 = -10 + C

C = 30

Rta: La función de ingresos totales está dada por la expresión

ITq = -20/4+q +30.

b-) IT(4) = -20/4+4 +30 = 27.5

Rta: Al duplicarse la producción los ingresos totales aumentan en 7,5 unidades monetarias.

Autor: eumed

http://www.eumed.net/libros-gratis/2008a/363/ingresos.htm

PUNTO MÁXIMO Y MÍNIMO

La curva que resulta de graficar una función cuadrática o de segundo grado se llama parábola. El punto mínimo y máximo de una parábola se llama vértice. La coordenada x del vértice de una parábola se calcula con x=-b/2a

Cuando a>0, el vértice es un mínimo y la gráfica se abre hacia arriba; cuando a<0, el vértice es un máximo y la gráfica se abre hacia abajo.

Punto mínimo de una parábola

Punto máximo de una parábola

Ejemplo:

La compañía AB&Z está planeando poner en el mercado un nuevo producto. La compañía no quiere basar el precio de venta tan solo en los estimados de los costos de producción, la gerencia hace una encuesta entre los minoristas para ver cuántas comprarían a diversos precios (demanda). De esta investigación se determina que la función de demanda es:

x=-750p+15000, dónde p es el precio

Los costos fijos por concepto de producción del nuevo producto son de $7000 y el costo del material y de la mano de obra para producir cada unidad del nuevo producto es de $4.

¿Cuál es el precio que debe cobrar la compañía a los minoristas para obtener la utilidad máxima?

Solución:

Costo fijo=7000

Costo Variable= cantidad producida * el costo de producir cada unidad =4*x=4x

Costo=4x+7000, dónde x es la cantidad producida del nuevo producto

Sí se puede suponer que la compañía AB&Z solo producirá la cantidad que se está demandando en el mercado, entonces se puede sustituir la cantidad de demanda(-750p+15000) en la función de costo.

Costo=4(-750p+15000)+7000

Costo=-3000p+67000

El ingreso se determina multiplicando el precio de venta y la cantidad que se va a vender en el mercado (demanda existente).

Ingreso=(-750p+15000)p

Ingreso=-750p2+15000p

La utilidad para la compañía es

Utilidad=Ingreso – Costo

Sustituyendo

Utilidad=(-750p2+15000p)- (-3000p+67000)

Utilidad=-750p2+15000p+3000p-67000

Utilidad=-750p2+18000p-67000, dónde a=-750, b=18000 y c=-67000

Lo que resulta una función cuadrática, representada gráficamente por una parábola.

Para determinar si en la parábola de la función de ingreso hay un mínimo o un máximo, analizamos el valor de a=-750, cómo es menor que cero (a<0) resulta que la parábola posee un máximo.

Calculando el punto máximo (precio máximo) de la función de utilidad a través de la formula

x=-b/2a

cambiamos la variable x por la variable precio, ya que es la que se encuentra en la función de utilidad (la utilidad está en función del precio)

precio=-b/2a

precio=-18000/(2)(-750)

precio=12

Así el precio que se puede establecer para la utilidad máxima es $12.

Sustituyendo este valor, en la función de utilidad se obtendrá la máxima utilidad.

Utilidad=-750p2+18000p-67000

Utilidad=(750)(12)2+(18000)(12)-67000

Utilidad=$41000

En la siguiente figura se ilustra que cuando x=12 (precio=12), la utilidad alcanza su máximo punto y=41000(utilidad=41000).

Gráfica de la función Utilidad=-750p2+18000p-67000

Autor: Catedramatematica

http://catedramatematica.wikispaces.com/Aplicaci%C3%B3n+de+funciones

5.6 Elasticidades: Elasticidad de la Demanda y Elasticidad del Ingreso

Se puede definir la elasticidad de la demanda como el grado en que la demanda de un bien o servicio varía con su precio. Normalmente, las ventas aumentan con la caída de los precios y disminuyen con el aumento de los precios. La elasticidad de la demanda de un producto o servicio depende en muchos casos de si este es de primera necesidad o no, así la mayoría de los artículos de primera necesidad (alimentos, medicinas, ropa básica) tienen son inelásticos ya que pese a que el precio varíe la demanda cambiará poco. Sin embargo en artículos de lujo, la demanda si es elástica variando mucho en función del precio.

La elasticidad de la demanda en microeconomía corresponde con la pendiente de la función de demanda dentro de la Teoría de la Oferta y la Demanda.

Factores que influyen en la elasticidad de la demanda de un producto o servicio

El factor principal en la determinación de la elasticidad de la demanda es la voluntad y capacidad de los consumidores de aplazar las decisiones inmediatas de consumo sobre un bien o servicio cuando este sube su precio o viceversa. Además otros factores que influyen son la disponibilidad de bienes sustitutivos, necesidad, duración, o la lealtad a una marca determinada.

Autor: Enciclopediafinanciera

http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-elasticidad-de-la-demanda.html

RESUMEN: En esta unidad 5 trata, sobre la aplicación de la derivada en los problemas económico-administrativo.